Удивительные объёмы многогранников

Можно ли из оди­на­ко­вых гра­ней сложить выпук­лый и невыпук­лый многогран­ники? Конечно, можно, скажете вы. Один из при­ме­ров при­ве­дён на  этом рисунке.

Многогран­ник назы­ва­ется выпук­лым, если он лежит по одну сто­рону от плос­ко­сти, содержащей любую из его гра­ней.

Многогран­ник назы­ва­ется невыпук­лым, если у него суще­ствует такая грань, что многогран­ник ока­зы­ва­ется по обе сто­роны от плос­ко­сти, содержащей эту грань.

Пусть из оди­на­ко­вых набо­ров гра­ней уда­лось сложить выпук­лый и невыпук­лый многогран­ник. У кото­рого из них объём будет больше?

Ока­зы­ва­ется можно так подо­брать грани, что объём невыпук­лого многогран­ника будет больше объёма выпук­лого, состав­лен­ного из тех же гра­ней. В фильме рас­ска­зы­ва­ется о наи­лучшем извест­ном таком при­мере.

Рас­смот­рим два тре­уголь­ника (точ­ные длины сто­рон будут ука­заны в конце фильма), кото­рые и будут гра­нями будущих многогран­ни­ков. Как мы видим, каж­дый тре­уголь­ник одно­временно ста­но­вится гра­нью и в одном, и в другом многогран­нике. Тот многогран­ник, кото­рый стро­ится слева, будет выпук­лым, тот, что справа — невыпук­лым.

Оба  постро­ен­ных многогран­ника — октаэдры (хотя и не пра­виль­ные), т.е. имеют по шесть вершин и восемь гра­ней.

Что такое в житейском смысле объём тела, в част­но­сти многогран­ника? Это то, сколько жид­ко­сти может быть налито внутрь этого многогран­ника. Отрежем вершинки и  нальём внутрь каж­дого многогран­ника воду. Выпук­лый многогран­ник уже напол­нился, а невыпук­лый —  ещё нет. Но, возможно, вода нали­ва­лась с раз­ной ско­ро­стью: чтобы пра­вильно срав­нить объёмы, выльем жид­кость из каж­дого многогран­ника в оди­на­ко­вые  ста­каны. Уро­вень воды в пра­вом ста­кане  выше, чем в левом, зна­чит, объём невыпук­лого многогран­ника действи­тельно больше объёма выпук­лого.

Если посчи­тать акку­ратно, то можно вычис­лить, что  отноше­ние объёма невыпук­лого многогран­ника к объёму выпук­лого равно 1,163.

В нашей задаче действи­тельно пра­виль­нее рас­смат­ри­вать отноше­ние объёмов, а не их раз­ницу, так как отноше­ние не зави­сит от разме­ров изна­чаль­ных тре­уголь­ни­ков, исполь­зо­ван­ных в каче­стве гра­ней для постро­е­ния многогран­ни­ков.

В рас­смот­рен­ном при­мере объём постро­ен­ного невыпук­лого многогран­ника более чем на 16% больше объёма выпук­лого. Дан­ные многогран­ники вы можете реа­ли­зо­вать сами, исполь­зуя грани с  ука­зан­ными сто­ро­нами. При этом, если цен­тры октаэд­ров рас­по­ложить в начале коор­ди­нат, то, с точ­но­стью до пово­рота,  коор­ди­наты вершин будут такие, как при­ве­дены в фильме.

В фильме рас­смот­рен при­мер постро­е­ния двух многогран­ни­ков, пред­ложен­ный С. Н. Миха­лё­вым в 2002 году, в то время аспи­ран­том меха­нико-матема­ти­че­ского факуль­тета МГУ. Это лучший из извест­ных при­ме­ров (с мак­сималь­ным извест­ным отноше­нием объёмов многогран­ни­ков).

Однако до сих пор неиз­вестно, насколько большим может быть отноше­ние объёма невыпук­лого многогран­ника к объёму выпук­лого, состав­лен­ного из тех же гра­ней. Этот вопрос ещё ждёт сво­его иссле­до­ва­теля!

Лите­ра­тура

Миха­лёв С. Н. Изо­мет­ри­че­ские реа­ли­за­ции октаэд­ров Бри­кара 1-го и 2-го типов с извест­ными зна­че­ни­ями объёма // Фун­дамен­таль­ная и при­клад­ная матема­тика. — 2002. — Т. 8, № 3. — С. 755—768.

Другие этюды раздела «Внешняя геометрия многогранников»