Изобретая колесо

 Тре­уголь­ник Рело — плос­кая фигура посто­ян­ной ширины — его можно вращать между двух парал­лель­ных прямых, рас­по­ложен­ных на фик­си­ро­ван­ном рас­сто­я­нии друг от друга, и он будет  посто­янно касаться их обеих.

Доба­вим еще пару парал­лель­ных прямых, касающихся тре­уголь­ника Рело и обра­зующих с уже имеющи­мися прямой угол. Тем самым полу­чим квад­рат. Если вращать тре­уголь­ник Рело  спе­ци­аль­ным обра­зом, то он будет посто­янно нахо­диться внутри квад­рата и в любой момент касаться всех его сто­рон.

Если быть более точ­ным, то надо рас­смат­ри­вать квад­рат с немного скруг­лен­ными углами. При этом тре­уголь­ник Рело явля­ется в этом «квад­рате» рото­ром минималь­ной площади — той фигу­рой, кото­рая при любом пово­роте будет  касаться всех сто­рон, и при этом более маленькой по площади фигуры с таким усло­вием не суще­ствует.

Кроме окруж­но­сти и тре­уголь­ника Рело бывают и другие   фигуры посто­ян­ной ширины. На любом пра­виль­ном нечет­ном $n$–уголь­нике, так же как и на тре­уголь­нике, можно постро­ить кри­вую посто­ян­ной ширины. Бывают несиммет­рич­ные кри­вые посто­ян­ной ширины.

Но бывает и бес­ко­нечно много фигур посто­ян­ной ширины, постро­ен­ных именно на пра­виль­ном тре­уголь­нике, и не подоб­ных ни друг другу, ни тре­уголь­нику Рело.

Про­должим какую–нибудь сто­рону пра­виль­ного тре­уголь­ника  за обе вершины на оди­на­ко­вое рас­сто­я­ние. Про­вращаем полу­чившийся отре­зок вокруг одной из вершин и про­сле­дим за тра­ек­то­ри­ями его концов. Полу­чен­ные большая и малая дуги будут частью кри­вой, огра­ни­чи­вающей фигуру посто­ян­ной ширины, кото­рая стро­ится. Про­вращаем этот же отре­зок вокруг дру­гой вершины, а затем вокруг оставшейся тре­тьей вершины.

Полу­чивша­яся крас­ная кри­вая будет состо­ять из трех дуг большого ради­уса и трех — малого. Можно дока­зать, что она явля­ется гра­ницей фигуры посто­ян­ной ширины. При этом неважно, насколько про­должать сто­рону за вершины, глав­ное, чтобы за обе вершины сто­рона про­должа­лась на оди­на­ко­вое рас­сто­я­ние.

Если начать вращать тре­уголь­ник Рело в квад­рате, то свя­зан­ная с ним крас­ная кри­вая будет вращаться  между двух парал­лель­ных прямых, непо­движ­ных отно­си­тельно квад­рата.

Зна­чит, таким обра­зом можно устро­ить  под­веску некруг­лого колеса с краем в виде крас­ной кри­вой.

Взяв четыре таких под­вески, можно соору­дить  повозку. При этом она будет ехать совершенно без пока­чи­ва­ний!

Дабы убе­диться, что тряски нет, поста­вим, как учат автомо­би­лист­ские тра­диции, на нашу тележку  ста­кан с водой.

Исто­рия того гра­не­ного ста­кана, к кото­рому мы все при­выкли, инте­ресна. По всей видимо­сти, его форму — коли­че­ство гра­ней, обо­док сверху — при­думала автор знаме­ни­той скульп­туры «Рабо­чий и кол­хоз­ница» Вера Игна­тьевна Мухина, выпол­няя заказ на созда­ние сер­виза для Кремля.

Глад­кая поверх­ность воды нам еще раз покажет, что бывают некруг­лые колеса и спо­соб их под­вески, такие, что тележка на них будет ехать абсо­лютно ровно.

Смотри также

Фигуры посто­ян­ной ширины // Матема­ти­че­ская состав­ляющая / Ред.-сост. Н. Н. Андреев, С. П. Коно­ва­лов, Н. М. Паню­нин. — Вто­рое изда­ние, расши­рен­ное и допол­нен­ное. — М. : Матема­ти­че­ские этюды, 2019. — С. 84—85, 319—320.

Другие этюды раздела «Кривые (фигуры) постоянной ширины»