Замощение и спираль Фибоначчи

Рекур­рент­ную формулу $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$, задающую при началь­ных усло­виях $F_0=1$, $F_1=1$ после­до­ва­тель­ность чисел Фибо­наччи, можно пред­ста­вить геомет­ри­че­ски. Стоит лишь пра­вильно укла­ды­вать квад­раты со сто­ро­нами $1,$ $1,$ $2,$ $3,$ $5,$ $8, 13, …,$ при­кла­ды­вая сле­дующий квад­рат к сто­ро­нам двух преды­дущих.

Замощение Фибоначчи

Такая укладка не един­ственна, а одна из возмож­ных — когда квад­раты уложены «по спи­рали». Спи­раль­ную укладку можно про­должать до бес­ко­неч­но­сти: укла­ды­ва­ние по спи­рали — один из стан­дарт­ных спо­со­бов замоще­ния плос­ко­сти много­уголь­ни­ками.

Уложен­ные квад­раты можно допол­нить про­во­лоч­ной спи­ра­лью.

Спираль Фибоначчи

Отме­тим, что бывают две похожие друг на друга спи­рали. Самая матема­ти­че­ская — лога­рифми­че­ская спи­раль с парамет­ром, зави­сящим от золо­того сече­ния $\varphi$. При­ближе­нием к ней явля­ется спи­раль Фибо­наччи, пред­став­лен­ная на кар­тинке, или «обрат­ная» к ней спи­раль Дюрера. Она состав­лена из чет­вер­ти­нок окруж­но­стей «впи­сан­ных» в квад­раты — радиус равен сто­роне квад­рата, а центр нахо­дится в вершине. Когда строят «от малого к большому» эту спи­раль назы­вают спи­ра­лью Дюрера, когда «разма­ты­вают» — спи­ра­лью Фибо­наччи.