Квадрирование квадрата

Задача «раз­ре­зать квад­рат на квад­раты» — три­ви­аль­ная. Раз­де­лим сто­роны исход­ного квад­рата попо­лам и полу­чится раз­ре­за­ние на четыре оди­на­ко­вых квад­рата. Но если в задаче доба­вить усло­вие, что все квад­раты, на кото­рые раз­ре­за­ется исход­ный квад­рат, должны быть раз­ными, то задача ста­но­вится совсем не про­стой.

Наименьшее возмож­ное число, на кото­рое можно раз­ре­зать квад­рат на квад­раты так, чтобы они все были попарно нерав­ными между собой, — $21$. При этом такое раз­би­е­ние един­ственно, оно пред­став­лено на кар­тинке.

Квадрирование квадрата

Реа­ли­зо­вать это раз­би­е­ние в виде голо­во­ломки довольно сложно — слиш­ком раз­ные у этих квад­ра­тов сто­роны. А в виде лос­кут­ного оде­яла, ска­терти или интар­сии на столе — очень инте­ресно! Но если немного «поше­ве­лить» усло­вие задачи, то можно сде­лать и нетри­ви­аль­ные голо­во­ломки.

Напри­мер, раз­решить не всем квад­ра­там быть попарно раз­лич­ными. В при­ве­дён­ном при­мере большой фио­ле­то­вый квад­рат имеет сто­рону $5$, два синих — $4$, зелё­ный — $3$, жёл­тые — по $2$, а у крас­ных квад­ра­тов сто­рона равна $1$.

Квадрирование квадрата

Задачу раз­ре­за­ния на квад­раты разумно ста­вить и для прямо­уголь­ника. И такая поста­новка имеет и исто­ри­че­ское зна­че­ние: в $1903$ году Макс Ден дока­зал, что если прямо­уголь­ник можно раз­ре­зать на квад­раты (не обя­за­тельно рав­ные), то отноше­ние длин его сто­рон раци­о­нально.

Квадрирование квадрата

В при­ве­дён­ном при­мере прямо­уголь­ник $32\times 33$ раз­де­лён на попарно раз­лич­ные квад­раты (со сто­ро­нами $18$, $15$, $14$, $10$, $9$, $8$, $7$, $4$ и квад­ра­тик со сто­ро­ной $1$, кото­рый при изго­тов­ле­нии модели сле­дует оста­вить как пустое место, ого­во­рив это в опи­са­нии).

Кра­сота этих голо­во­ломок в том, что они могут стать вве­де­нием в инте­рес­ную область на стыке матема­тики и физики. Ведь най­ден­ный спо­соб реше­ния задачи о квад­ри­ро­ва­нии квад­рата (или прямо­уголь­ника) осно­вы­ва­ется на пра­ви­лах Кирхгофа из тео­рии элек­три­че­ских цепей!

Лите­ра­тура

Яглом И. М. Как раз­ре­зать квад­рат?. — М.: Наука, 1968. — (Матема­ти­че­ская биб­лио­течка). — [Возмож­ность раз­би­е­ния на 21 квад­рат ещё не была известна!].

Гард­нер М. Матема­ти­че­ские голо­во­ломки и раз­вле­че­ния. — М.: Мир, 1999. — [Глава «Квад­ри­ро­ва­ние квад­рата»].

Скопен­ков М., Пра­со­лов М., Дори­ченко С. Раз­ре­за­ния метал­ли­че­ского прямо­уголь­ника // Жур­нал «Квант». 2011. № 3. Стр. 10—16.

Другие модели раздела «Головоломки»