Площади фигур

Площадь квад­рата равна  квад­рату длины его сто­роны. Легко посчи­тать площадь фигуры, раз­би­вающейся на несколько квад­ра­тов. А чему равна площадь фигуры, огра­ни­чен­ной  про­из­воль­ной кри­вой?

Наложим на изу­ча­емую фигуру  квад­рат­ную сетку.

Покра­сим в жёл­тый цвет квад­раты, кото­рые  хотя бы частично пере­се­каются с фигу­рой. Чтобы зри­тельно уви­деть и под­счи­тать площадь, занима­емую жёл­тыми квад­ра­тами,  сложим из них прямо­уголь­ник. Оче­видно, что вели­чина, кото­рую мы хотим назвать площа­дью изу­ча­емой фигуры, меньше площади этого жёл­того прямо­уголь­ника.

В синий цвет покра­сим те квад­раты, кото­рые  пол­но­стью лежат внутри нашей фигуры. Таких квад­ра­тов набра­лось, конечно, меньше, чем жёл­тых. Выложим и из них  прямо­уголь­ник. Площадь нашей фигуры больше площади этого синего прямо­уголь­ника.

Итак, то, что мы хотим назвать площа­дью изу­ча­емой фигуры, больше площади синего прямо­уголь­ника и меньше площади жёл­того. Но площади этих двух прямо­уголь­ни­ков сильно раз­ли­чаются, и пока мы плохо пред­став­ляем, какова же иско­мая площадь.

Для того чтобы полу­чить более точ­ные ниж­нюю и верх­нюю гра­ницы искомой вели­чины, рас­смот­рим сеточку из  более маленьких квад­ра­тов. Повто­рим преды­дущие действия. В жёл­тый покра­сим те квад­раты, кото­рые  хотя бы частью пере­се­каются с фигу­рой. В синий — те, кото­рые пол­но­стью лежат внутри фигуры. Снова площадь фигуры больше площади синего прямо­уголь­ника и меньше площади жёл­того. Но в этот раз, взяв более мел­кую сетку, мы полу­чили  более точ­ные гра­ницы.

Рас­смат­ри­вая ещё более мел­кую сетку, мы полу­чим  еще более точ­ные верх­нюю и ниж­нюю гра­ницы площади изу­ча­емой фигуры.

Будем про­должать уменьшать ячейки сетки, делая их всё мельче и мельче так, чтобы сто­рона квад­ра­ти­ков, из кото­рых она состав­лена, стреми­лась к нулю. Абстраги­ро­вавшись от реаль­но­сти, в матема­ти­че­ской модели счи­та­ется, что делать квад­ра­тики можно сколь угодно маленького размера. Тогда, как гово­рят, в пре­деле, жёл­тый и синий много­уголь­ники  окажутся рав­ными. Рас­смот­рим прямо­уголь­ник,  состав­лен­ный из поло­ви­нок синего и жел­того прямо­уголь­ни­ков (можно было рас­смот­реть и любой из них).

Площа­дью изу­ча­емой фигуры по  опре­де­ле­нию назы­ва­ется площадь двуцвет­ного прямо­уголь­ника.

В жизни бывают слу­чаи, когда необ­хо­димо при­ближённо опре­де­лить площадь фигуры. При этом посчи­тан­ная площадь должна отли­чаться от насто­ящей не больше чем на неко­то­рую задан­ную вели­чину. Для реше­ния этой задачи необ­хо­димо взять сетку из таких квад­ра­ти­ков, чтобы раз­ница между площа­дями жёл­того и синего прямо­уголь­ни­ков не пре­вос­хо­дила удво­ен­ной задан­ной вели­чины погреш­но­сти. Тогда за площадь изу­ча­емой фигуры нужно взять число, рав­ное сумме площа­дей жёл­того и синего прямо­уголь­ни­ков, поде­лён­ной попо­лам.

Другие этюды раздела «Площади и объёмы»