Остов из трёх перпендикулярных одинаковых прямоугольников может стать основой построения замечательных многогранников: икосаэдра и псевдоикосаэдра, кубооктаэдра, октаэдра и додекаэдра.
Возьмем три одинаковых прямоугольника $1:L$, расположим их симметрично в трёх взаимно перпендикулярных плоскостях и будем смотреть на многогранник, вершины которого образуют вершины этих прямоугольников.
При $L=1$ конструкция даёт кубооктаэдр, получающийся из куба усечением углов. Это полуправильный многогранник, гранями которого являются 6 квадратов и 8 правильных треугольников.
Если $L = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0{,}618$, то отношение сторон прямоугольников равно золотому сечению (отношение стороны правильного пятиугольника к его диагонали). При этом значении не только все рёбра оказываются равными, но и все грани становятся равными, у многогранника появляются дополнительные (относительно куба) симметрии. Это икосаэдр. И это один из способов сделать икосаэдр своими руками: прорезав пазы в прямоугольниках, соединить их рассматриваемым способом, а на углы натянуть верёвочку.
Если $L=\dfrac12$, то получается псевдоикосаэдр — многогранник с 20 неравными треугольными гранями. Интересно, что такой многогранник встречается в природе: кристаллы пирита иногда имеют такую форму.
Золотое сечение является иррациональным числом и взять в быту прямоугольник с точно таким отношением сторон невозможно, используются рациональные приближения. Универсальный алгоритм нахождения рациональных приближений даёт рассмотрение подходящих дробей. В случае золотого сечения подходящие дроби совпадают с отношением двух соседних чисел Фибоначчи. Приближение $\dfrac12$ является первым в этой серии, а, например, прямоугольник со сторонами $13: 21$ уже зрительно неотличим от «золотого».
В предельном случае, когда $L=0$, т. е. когда прямоугольники вырождаются в отрезки, снова получается правильный многогранник — октаэдр.
Похожим способом можно построить ещё один правильный многогранник — додекаэдр. Но теперь в качестве вершин необходимо взять и углы прямоугольников и вершины куба. Если взять отношение сторон прямоугольников равным $\varphi:\dfrac1\varphi$, то грани «крышечек», надстроенных над соседними сторонами квадрата, будут лежать в одной плоскости и образовывать правильные пятиугольники.
Такого рода построения икосаэдра и додекаэдра по существу восходят к «Началам» Евклида (книга XIII, предл. 16—17; в древнегреческой литературе открытие додекаэдра приписывается Пифагору, а икосаэдра — Теэтету).
Другие этюды раздела «Внешняя геометрия многогранников»
