Ласточкин хвост

Дис­кри­ми­нант квад­рат­ного урав­не­ния поз­во­ляет раз­ли­чать не только отлич­ни­ков и тро­еч­ни­ков, но и квад­рат­ные урав­не­ния с двумя кор­нями и квад­рат­ные урав­не­ния без действи­тель­ных кор­ней. В сюжете Дис­кри­ми­нант, кото­рый сле­дует понять перед изу­че­нием пред­лага­емого фильма, рас­ска­зы­ва­ется и о свя­зан­ной с этим геомет­рии.

В мире урав­не­ний чет­вёр­той степени урав­не­ния с раз­ным коли­че­ством кор­ней раз­де­ляет «ласточ­кин хвост» — дис­кри­ми­нант­ная поверх­ность, «живущая» в трёхмер­ном про­стран­стве.

Урав­не­ние чет­вёр­той степени $Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx+E=0$ имеет геомет­ри­че­ского двой­ника: на плос­ко­сти $Oxy$ урав­не­нию соот­вет­ствует график функции $y=Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx+E$, нули кото­рой — пере­се­че­ния графика с осью $Ox$ — реше­ния соот­вет­ствующего урав­не­ния. Деле­нием на коэффици­ент при старшей степени (рас­тяже­нием по оси $Oy$) и сдвигом по $x$ любое урав­не­ние чет­вёр­той степени можно при­ве­сти к виду $x^4+ax^2+bx+c=0$: коли­че­ство кор­ней не поме­ня­ется, график каче­ственно будет выгля­деть так же, а коэффици­ен­тов-парамет­ров меньше.

Зна­чит, мир урав­не­ний чет­вёр­той степени имеет «трёхмер­ное» опи­са­ние: каж­дое урав­не­ние $x^4+ax^2+bx+c=0$ коди­ру­ется точ­кой $(a,b,c)$ в трёхмер­ном про­стран­стве парамет­ров. И в зави­симо­сти от положе­ния этой точки коли­че­ство действи­тель­ных кор­ней «типич­ного» урав­не­ния чет­вёр­той степени — точек пере­се­че­ний графика с осью $Ox$ — может быть 4 или 2, или вообще 0. Раз­де­ляет эти слу­чаи «ласточ­кин хвост» — дис­кри­ми­нант­ная поверх­ность, обра­зо­ван­ная точ­ками, отве­чающими урав­не­ниям с крат­ными действи­тель­ными кор­нями. При пере­ходе из одной из обла­стей, на кото­рые делит про­стран­ство парамет­ров дис­кри­ми­нант­ная поверх­ность, в другую точка парамет­ров ока­зы­ва­ется на самой поверх­но­сти. В этот момент неко­то­рые корни сли­ваются, график каса­ется оси $Ox$ и реа­ли­зуются ещё слу­чаи, когда кор­ней у урав­не­ния 3 или 1.

Уравнение четвёртой степени
Количество решений уравнения четвёртой степени
Ласточкин хвост

В большин­стве своих точек ласточ­кин хвост — это глад­кая поверх­ность, но есть идущая вверх линия самопе­ре­се­че­ния, а также две поло­винки полу­ку­би­че­ского ребра воз­врата. Рас­хо­дясь от «вершины» поверх­но­сти, эти три линии обра­зуют кри­во­ли­ней­ный трёхгран­ный угол.

Ласточкин хвост
Ласточкин хвост
Ласточкин хвост

Сече­ния вер­ти­каль­ной плос­ко­стью ласточ­ки­ного хво­ста в зелё­ной части снова похожи на хвост ласточки, когда её рисуют на плос­ком листе бумаги. Когда плос­кость про­хо­дит через вершину поверх­но­сти, кри­вая пере­се­че­ния пере­стаёт быть самопе­ре­се­кающейся, но у неё есть точка излома, неглад­ко­сти. Дальше от вершины это уже глад­кая линия. (Для зна­то­ков: если смот­реть «в обрат­ном времени», то кри­вые похожи на плос­кий вол­но­вой фронт, напри­мер, от пара­болы — экви­ди­станты внутрь пара­болы.)

Ласточкин хвост
Ласточкин хвост
Ласточкин хвост

Ребро воз­врата имеет вид полу­ку­би­че­ской кри­вой. Ласточ­кин хвост — линей­ча­тая поверх­ность: заме­та­ется прямыми лини­ями. При этом прямо­ли­ней­ные обра­зующие являются каса­тель­ными к ребру воз­врата. И это ещё один спо­соб постро­е­ния ласточ­ки­ного хво­ста: стар­то­вать с полу­ку­би­че­ской кри­вой в про­стран­стве и рас­смот­реть все её каса­тель­ные.

Ласточкин хвост
Ласточкин хвост
Ласточкин хвост

Посмот­рим на коли­че­ство точек пере­се­че­ния графика функции $y=x^4+ax^2+bx+c$ с осью $Ox$ — коли­че­ство кор­ней урав­не­ния — в зави­симо­сти от положе­ния точки $(a,b,c)$ отно­си­тельно дис­кри­ми­нант­ной поверх­но­сти в про­стран­стве парамет­ров.

Если точка лежит в зелё­ной обла­сти — внутри кри­во­ли­ней­ного угла, — то функция имеет четыре нуля, т. е. урав­не­ние $x^4+ax^2+bx+c=0$ имеет четыре действи­тель­ных корня. Для пере­хода из зелё­ной обла­сти в синюю необ­хо­димо пере­сечь дис­кри­ми­нант­ную поверх­ность, и в момент пере­се­че­ния «грани угла» два нуля из четырёх сли­ваются.

Ласточкин хвост: количество корней
Ласточкин хвост: количество корней
Ласточкин хвост: количество корней

Нахож­де­ние точки в синей обла­сти — под дис­кри­ми­нант­ной поверх­но­стью и вне зелё­ной обла­сти — отве­чает урав­не­ниям с двумя действи­тель­ными кор­нями. На гра­нице синей и фио­ле­то­вой обла­стей сли­ваются и эти два корня.

Ласточкин хвост: количество корней
Ласточкин хвост: количество корней
Ласточкин хвост: количество корней

При нахож­де­нии точки в фио­ле­то­вой обла­сти — над ласточ­ки­ным хво­стом — у соот­вет­ствующего урав­не­ния действи­тель­ных кор­ней нет.

Ласточкин хвост: количество корней
Ласточкин хвост: количество корней
Ласточкин хвост: количество корней

Верши­ной ласточ­ки­ного хво­ста явля­ется точка $(0,0,0)$, отве­чающая функции $y=x^4$, у кото­рой один ноль чет­вёр­того порядка.

Линия самопе­ре­се­че­ния дис­кри­ми­нант­ной поверх­но­сти, выхо­дящая из вершины вверх, отве­чает много­чле­нам, имеющим два двой­ных корня. Если от линии самопе­ре­се­че­ния уйти, оста­ва­ясь на дис­кри­ми­нант­ной поверх­но­сти, в одну сто­рону, то у урав­не­ния будет один двой­ной корень, если в другую, — корень будет тоже двой­ной, но другого знака. Соот­вет­ственно, на линии самопе­ре­се­че­ния два симмет­рич­ных отно­си­тельно нуля двой­ных корня; она соот­вет­ствует функциям вида $y=(x^2+\alpha)^2$ при $\alpha\le 0$.

Ласточкин хвост: количество корней
Ласточкин хвост: количество корней
Ласточкин хвост: количество корней

Ребро воз­врата соот­вет­ствует много­чле­нам с одним трой­ным кор­нем и одним про­стым. Действи­тельно, если выйти внутрь зелё­ного угла, то кор­ней, как мы пом­ним, четыре. Когда точка при­хо­дит на ниж­нюю грань угла, из этих четырёх кор­ней сли­ваются два сред­них. Когда точка нахо­дится на боко­вой грани угла, то сли­ваются край­ние два корня (с какой сто­роны — зави­сит от того, на какой из боко­вых гра­ней нахо­дится точка). На общем для боко­вой и ниж­ней гра­нях ребре воз­врата сли­ваются три корня из четырёх. На дру­гой поло­винке ребра сли­ваются три корня с дру­гой сто­роны.

Ласточкин хвост: количество корней
Ласточкин хвост: количество корней
Ласточкин хвост: количество корней

Как уже было пока­зано, прямо­ли­ней­ные обра­зующие дис­кри­ми­нант­ной поверх­но­сти касаются ребра воз­врата. Точки, лежащие на прямо­ли­ней­ной обра­зующей, отве­чают много­чле­нам с одним общим фик­си­ро­ван­ным кор­нем. Когда точка нахо­дится на участке прямой, отве­чающем зелё­ному углу, — это один из трёх кор­ней, когда в основ­ной части ласточ­ки­ного хво­ста — един­ствен­ный.

Ласточкин хвост: количество корней
Ласточкин хвост: количество корней
Ласточкин хвост: количество корней

Дис­кри­ми­нант­ная поверх­ность урав­не­ний чет­вёр­той степени «ласточ­кин хвост» стала героем послед­ней напи­сан­ной мас­лом работы Саль­ва­дора Дали. На ней также изоб­ражена $S$-образ­ная кри­вая, сим­во­ли­зи­рующая ещё одного пред­ста­ви­теля тео­рии осо­бен­но­стей — сборку. Кар­тина завершает серию «Тео­рия ката­строф» из четырёх работ знаме­ни­того испанца.

Сальвадор Дали: Ласточкин хвост
Сальвадор Дали: Ласточкин хвост
Сальвадор Дали: Ласточкин хвост

По неко­то­рым источ­ни­кам, Саль­ва­дор Дали рисо­вал кри­вую по графику Рене Тома. Мы не смогли подо­брать сече­ние ласточ­ки­ного хво­ста, совпа­дающее с кри­вой Дали. Возможно, дело в том, что ласточ­ки­ным хво­стом назы­вают не только дис­кри­ми­нант­ную поверх­ность урав­не­ний чет­вёр­той степени, но и про­сто осо­бен­ность такого вида (когда взгляд чисто топо­логи­че­ский).

Рене Том (René Frédéric Thom, 1923—2002) полу­чил в 1958 году медаль Фил­дса за созда­ние тео­рии кобор­дизмов. Впо­след­ствии занялся тео­рией ката­строф — обла­стью, объеди­няющей важ­ный раз­дел матема­тики «тео­рию осо­бен­но­стей» и при­ложе­ния этой тео­рии к объяс­не­нию явле­ний окружающего нас мира. В 60—70-х годах XX века тео­рия ката­строф была чрезмерно попу­лярна. Состо­я­лась встреча Рене Тома и Саль­ва­дора Дали, ока­завшая на испанца большое вли­я­ние. Даже в своей ответ­ной речи «Гала, Велас­кес и Золо­тое руно», будучи выбран­ным в ино­стран­ные члены Ака­демии изящ­ных искусств (Académie des beaux-arts) Инсти­тута Франции 24 мая 1978 года, Саль­ва­дор Дали упоми­нал и Рене Тома, и тео­рию ката­строф.

Серия «Тео­рия ката­строф» Саль­ва­дора Дали (1983):

По неко­то­рым источ­ни­кам, Дали оформил множе­ством рисун­ков (а книж­ная графика у Дали бога­тейшая) работу Тома «Пара­болы и ката­строфы. Беседы о матема­тике, науке и фило­софии».

Как вспоми­нал Том, «Не знаю, с чего вдруг я удо­сто­ился такой чести. Дали я видел не более пяти минут, и к тому же дав­ным-давно. Мне ска­зали, что его послед­няя кар­тина «Топо­логи­че­ское похище­ние Европы» посвящена моим рабо­там. Думаю, дело ско­рее в навяз­чи­вых идеях мэтра, именно им я обя­зан запоз­да­лым и чрезмер­ным энту­зи­азмом по поводу моих иссле­до­ва­ний, давно уже извест­ных среди учё­ных».

Леопольд Кро­не­кер, автор знаме­ни­той фразы «Бог создал целые числа, всё осталь­ное — дело рук чело­ве­че­ских» (Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk) в ста­тье 1878 года ана­ли­ти­че­ски, не рисуя графи­ков, пол­но­стью иссле­до­вал дис­кри­ми­нант­ную поверх­ность урав­не­ний чет­вёр­той степени. Для инте­ре­сующихся напишем неко­то­рые формулы и мы.

Для урав­не­ний любой степени, а не только квад­рат­ных, можно напи­сать дис­кри­ми­нант — много­член от коэффици­ен­тов урав­не­ния, рав­ный нулю тогда и только тогда, когда урав­не­ние имеет крат­ные корни (не обя­за­тельно действи­тель­ные). Для урав­не­ний $x^4+ax^2+bx+c=0$ дис­кри­ми­нант имеет вид $$ \Delta=16a^4c-4a^3b^2-128a^2c^2+144ab^2c-27b^4+256c^3. $$

Понять, как устро­ена поверх­ность $\Delta=0$ в про­стран­стве $Oabc$, не так уж про­сто.

Дру­гой под­ход к постро­е­нию дис­кри­ми­нант­ной поверх­но­сти исполь­зует свойства крат­ного корня. В момент, когда два корня сли­ваются и у урав­не­ния появ­ля­ется крат­ный корень, график каса­ется оси $Ox$. В точке каса­ния $t$ обраща­ется в ноль не только сам много­член, но и его про­из­вод­ная: $$ \begin{cases} t^4+at^2+bt+c=0{,} \\ 4t^3+2at+b=0.\end{cases} $$

Выражая $b$ и $c$ через зна­че­ние крат­ного корня $t$ и коэффици­ент $a$, полу­чаем парамет­ри­че­ское зада­ние дис­кри­ми­нант­ной поверх­но­сти: $b=-4t^3-2at$ (из вто­рого урав­не­ния), $c=3t^4+at^2$. (Рост ласточ­ки­ного хво­ста в начале фильма и то, как он «обре­зан», соот­вет­ствуют неко­то­рым зна­че­ниям парамет­ров $t$ и $a$.)

Отме­тим, что если $t$ фик­си­ро­вано, то $b$ и $c$ зави­сят от $a$ линейно. То есть множе­ство всех урав­не­ний с дан­ным крат­ным кор­нем $t$ пред­став­ля­ется в про­стран­стве парамет­ров прямой, а вся дис­кри­ми­нант­ная поверх­ность явля­ется объеди­не­нием таких прямых. Каж­дая из этих прямых каса­ется ребра воз­врата: точка каса­ния соот­вет­ствует един­ствен­ному урав­не­нию, для кото­рого $t$ не про­сто крат­ный, а трёх­крат­ный корень. Коэффици­енты урав­не­ния $x^4+ax^2+bx+c=0$, соот­вет­ствующие точке каса­ния, легко найти по тео­реме Виета: так как три корня равны $t$, $t$, $t$, то оставшийся чет­вёр­тый корень равен $-3t$ (сумма кор­ней равна минус коэффици­енту при $x^3$, то есть нулю), а для осталь­ных коэффици­ен­тов полу­чаем $a=-6t^2$, $b=-8t^3$, $c=-3t^4$.

Как отме­ча­лось, это даёт ещё один спо­соб постро­ить ласточ­кин хвост: рас­смот­реть поверх­ность, состо­ящую из всех каса­тель­ных к ребру воз­врата — кри­вой $(-6t^2,-8t^3,-3t^4)$.

Постро­ен­ная таким обра­зом поверх­ность не совсем совпа­дает с поверх­но­стью $\Delta=0$. Дело тут в много­чле­нах вида $(x^2+\alpha)^2$ для $\alpha\gt 0$. У них веще­ствен­ных кор­ней нет, а есть две пары крат­ных комплекс­ных кор­ней. Поверх­ность $\Delta=0$ такие урав­не­ния вклю­чает по опре­де­ле­нию дис­кри­ми­нанта, а вот рас­смот­рен­ная парамет­ри­за­ция их не учи­ты­вала. Геомет­ри­че­ски такие урав­не­ния соот­вет­ствуют кри­вой, про­должающей линию самопе­ре­се­че­ния ласточ­ки­ного хво­ста (соот­вет­ствующую урав­не­ниям $(x^2+\alpha)^2$ для $\alpha \le 0$) в фио­ле­то­вую область симмет­рично за вершину.

Лите­ра­тура

Васи­льев В. А. Геомет­рия дис­кри­ми­нанта. — М.: МЦНМО, 2017. — (Биб­лио­тека «Матема­ти­че­ское про­свеще­ние»; Вып. 41).

Клейн Ф. Элемен­тар­ная матема­тика с точки зре­ния высшей. Т. 1: Арифме­тика, алгебра, ана­лиз. — 4-е изд. — М.: Физмат­лит, 1987. — С. 137—147. — [Пер­вое изда­ние на рус­ском: Клейн Ф. Вопросы элемен­тар­ной и высшей матема­тики. — Одесса: Mathesis, 1912. — С. 154—166].

Арнольд В. И. Тео­рия ката­строф. — 3-е изд., доп. — М.: Наука, 1990.

Kronecker L. Über Sturmsche Functionen // Monatsberichte der Königlicli Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. — Feb. 1878. — P. 95—121.

Дис­кри­ми­нант // Матема­ти­че­ские этюды.