Два самых известных определения эллипса — через натянутую ниточку с концами в фокусах и как сечение конуса. Как они связаны? Откуда у сечения конуса берутся эти выделенные точки — фокусы? Почему у эллипса и гиперболы по два фокуса, а у параболы — один? В геометрическом определении параболы участвует директриса. А есть ли директриса у эллипса и, если да, то что это такое? Свести факты о кониках в единую картину позволяют сферы (шары) Данделена.
Каждое коническое сечение — эллипс, парабола, гипербола — имеет несколько (эквивалентных) определений: как невырожденное сечение конуса; алгебраическое — задание уравнением; геометрическое — через фокусы; через эксцентриситет.
Эллипс можно получить не только как сечение конуса, но и как сечение (прямого кругового) цилиндра плоскостью, непараллельной его оси. Впишем в цилиндр два шара и придвинем их к секущей плоскости так, чтобы они её коснулись с разных сторон. Это и есть сферы Данделена, а точки касания с секущей плоскостью — фокусы эллипса.
Через окружности касания сфер Данделена с цилиндром проведём две параллельные «горизонтальные» плоскости до пересечения с секущей плоскостью. Линии пересечения — директрисы эллипса.
Докажем, что из определения эллипса как сечения цилиндра следует геометрическое определение эллипса. Воспользуемся тем, что касательные к сфере, проведённые из одной точки, равны.
Отрезок от точки эллипса до фокуса равен отрезку образующей цилиндра от точки эллипса до окружности касания цилиндра и сферы Данделена, давшей данный фокус. Со вторым фокусом так же. В итоге сумма расстояний от точки до фокусов равна длине отрезка образующей цилиндра между параллельными плоскостями. Но эта длина не зависит от рассматриваемой точки эллипса, она всегда постоянна.
Покажем, что прямые, являющиеся пересечением горизонтальных плоскостей с секущей, являются директрисами: отношение расстояния от точки до фокуса к расстоянию от точки до прямой всегда постоянно. Это отношение называют эксцентриситетом и обозначают греческой буквой $\varepsilon$.
Из точки на эллипсе опустим перпендикуляр на горизонтальную плоскость. В возникшем прямоугольном треугольнике расстояние от точки до директрисы есть гипотенуза, а катет равен расстоянию от точки до фокуса (так как оба отрезка касаются сферы). Таким образом, рассматриваемое отношение равно синусу двугранного угла между секущей и горизонтальной плоскостями: и гипотенуза, и катет перпендикулярны линии пересечения плоскостей. И так как эллипс лежит в секущей плоскости, то для любой его точки этот угол, а стало быть, и отношение расстояний, не меняется. Это и есть эксцентриситет эллипса, он всегда меньше 1.
Аналогичные рассуждения проходят, если определять эллипс как сечение конуса плоскостью, пересекающей все его образующие и не проходящей через его вершину.
В конус выше и ниже плоскости сечения вписываются шары, которые «раздуваются» до касания с плоскостью. В момент касания это сферы Данделена, а точки касания — фокусы эллипса. Директрисы эллипса — прямые пересечения секущей плоскости с плоскостями, проходящими через окружности касания сфер Данделена и конуса.
Сумма расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов равна длине отрезка образующей конуса, заключённой между «горизонтальными» плоскостями.
Эксцентриситет эллипса — отношение расстояния от точки эллипса до фокуса к расстоянию от точки до директрисы — не зависит от рассматриваемой точки эллипса и есть величина постоянная, меньше единицы.
Именно в этом месте рассмотрение эллипса как конического сечения чуть сложнее, чем рассмотрение как сечения цилиндра, где возникал «вертикальный» прямоугольный треугольник, отношение катета к гипотенузе в котором равнялось эксцентриситету. Образующая конуса наклонена к горизонтальной плоскости и аналог того треугольника уже не будет прямоугольным. Приходится рассматривать отношения сторон в двух прямоугольных треугольниках с общим катетом — перпендикуляром, опущенным из точки эллипса на горизонтальную плоскость.
Итак, рассмотрение сфер Данделена даёт определения фокусов и директрис эллипса и позволяет показать, что из определения эллипса как конического сечения следуют геометрическое определение эллипса и определение через эксцентриситет.
Заканчивая рассмотрение эллипса, заметим, что из плоской картинки на плакате, иллюстрирующей определение эллипса через эксцентриситет, сразу следует эквивалентность геометрическому определению: сумма расстояний до фокусов пропорциональна длине отрезка, перпендикулярного двум параллельным директрисам и скользящего вдоль них.
Парабола как коническое сечение возникает, если секущая плоскость параллельна ровно одной образующей конуса (как следствие — пересекается только с одной его полой).
Впишем в конус рядом с вершиной сферу и начнём её раздувать до касания с секущей плоскостью. Точка касания сферы Данделена с секущей плоскостью и есть фокус параболы. В отличие от эллипса и гиперболы у параболы один фокус. Вписать в конус шар «снизу» от так расположенной секущей плоскости невозможно: вписанный шар касается всех образующих конуса, а будучи расположенным ниже плоскости, он не сможет коснуться образующей, параллельной плоскости.
Проведём плоскость через окружность касания сферы Данделена и конуса до пересечения с секущей плоскостью. Прямая пересечения — директриса параболы. Покажем, что так определённые парабола, её фокус и директриса удовлетворяют геометрическому определению параболы.
Через произвольную точку параболы проведём образующую конуса и из той же точки опустим перпендикуляры на директрису и горизонтальную плоскость. Поскольку горизонтальная плоскость перпендикулярна оси конуса, все его образующие составляют с этой плоскостью один и тот же угол, равный двугранному углу между секущей и горизонтальной плоскостями. Значит, возникшие прямоугольные треугольники равны по катету и острому углу, а поэтому равны и их гипотенузы.
Тем самым, расстояние от точки на параболе до директрисы равно расстоянию от точки до окружности касания сферы Данделена и конуса. Но последнее равно и расстоянию от точки на параболе до фокуса — как касательные к сфере, проведённые из одной точки.
Таким образом, из определения параболы как сечения конуса следует геометрическое определение параболы. У параболы геометрическое определение совпадает с определением через эксцентриситет, а значит, и оно доказано.
Гипербола как коническое сечение возникает, когда секущая плоскость пересекает обе полы конуса (иначе говоря, параллельна двум его образующим). Предлагаем читателю самостоятельно разобрать этот случай: вписать сферы Данделена в обе половинки конуса по одну сторону от плоскости и восстановить геометрические рассуждения. А мы лишь заметим, что запомнить, у эллипса или гиперболы эксцентриситет больше 1, помогает само название «гипербола»: ὑπέρ по-древнегречески означает «сверх».
Уже древние греки занимались изучением эллипса, гиперболы и параболы, рассматривая их как конические сечения. Аполлоний (262 до н. э. — 190 до н. э., родом из Перги, но работавший в Александрии, современник Архимеда) написал труд «Конические сечения» в восьми книгах. Термин «фокус» (лат. «очаг, огонь») был введён Иоганном Кеплером в сочинении «Оптическая часть астрономии» («Astronomiæ pars optica», 1604). А элегантную идею сфер придумал в 1822 году бельгийский математик и механик Жерминаль Данделен.
Розенфельд Б. А. Аполлоний Пергский. — М.: МЦНМО 2004.
Гильберт Д.,
Плакат «Конические сечения» // ИПС «Задачи по геометрии».