Маятник Фуко позволяет увидеть (не глядя на неподвижные звёзды!) вращение Земли вокруг своей оси: маятник последовательно сбивает предметы, расставленные по кругу, а значит, поворачивается относительно пола. Геометрическое объяснение изменения положения плоскости колебаний маятника Фуко относительно наблюдателя позволяет понять, почему происходят эти изменения, ярко и просто запомнить, какую часть круга заметёт за сутки маятник Фуко, находящийся на данной широте.
Простейший случай — маятник Фуко расположен на (Северном) полюсе. «Пол», на котором находится и относительно которого ориентируется наблюдатель, жёстко связан с Землёй и вращается вместе с ней вокруг той же оси. Маятник совершает колебания под действием силы тяжести, направленной вдоль оси вращения перпендикулярно вниз относительно пола. Сила лежит в плоскости колебаний маятника, и ничто не меняет его плоскость колебаний относительно объемлющего пространства (звёзд). За сутки — один оборот Земли вокруг своей оси — маятник Фуко проходит полный круг, делает полный оборот относительно пола. (На Северном полюсе Земля и наблюдатель вращаются против часовой стрелки, маятник для наблюдателя — по часовой.)
Ещё один предельный случай — маятник Фуко расположен на экваторе. На этом простом случае привыкнем к механико-математической модели, терминологии и рассуждениям. Маленький по сравнению с размерами Земли кружочек пола маятника — касательное пространство к сфере, в котором лежит вектор скорости маятника, который и задаёт его движение. Это касательное пространство совпадает у сферы и у соосного с ней цилиндра, касающегося сферы по экватору. Модель: сфера и цилиндр неподвижны, маятник медленно перемещается вдоль экватора. Маятник совершает колебания под действием силы тяжести, направленной к центру Земли перпендикулярно касательному кружочку (пространству).
При изучении колебаний маятника от сферы переходим к цилиндру (касательные пространства совпадают), а от цилиндра — к его развёртке, плоскому прямоугольнику. Вдоль прямой, являющейся образом экватора, сила тяжести остаётся перпендикулярной касательному пространству. Поведение маятника можно изучать следующим образом: плоский прямоугольник, являющийся развёрткой цилиндра, маятник медленно переносится относительно средней линии и совершает колебания под действием силы тяжести, направленной перпендикулярно плоскости прямоугольника. Нет никаких сил, которые бы поворачивали плоскость колебаний маятника, и эта плоскость всегда остаётся параллельной своему начальному положению.
Свернём развёртку обратно в цилиндр. Векторы окажутся в касательных пространствах к сфере в точках экватора и будут одинаково расположены относительно него. Начальное и конечное положение вектора скорости колебания маятника не будут отличаться после одного оборота вокруг экватора сферы.
Итак, маятник Фуко, расположенный на экваторе, не будет менять свою плоскость колебаний относительно пола.
Перенесёмся в Париж, туда, где в 1851 году впервые был продемонстрирован маятник Фуко. Наблюдатель видит, что плоскость колебаний маятника поворачивается относительно пола, но, по сути, это пол меняет своё положение относительно плоскости колебаний маятника. За сутки маятник Фуко на парижской параллели поворачивается не на полный оборот.
Чтобы разобраться, почему и на сколько за сутки поворачивается маятник на данной широте (параллели), рассмотрим модель: неподвижная сфера и соосный с ней неподвижный конус, касающийся шара по параллели; маятник медленно перемещается вдоль параллели. Маятник совершает колебания под действием силы тяжести, направленной к центру Земли. В точках параллели сила тяжести направлена перпендикулярно кружочку, являющемуся касательным пространством одновременно и к сфере, и к конусу.
Развернём конус, получится сектор круга, угол которого зависит от параллели касания со сферой. Параллель перейдёт в дугу окружности, и при медленном перемещении маятника вдоль этой параллели (и только вдоль неё!) на него будет действовать только сила тяжести, направленная перпендикулярно плоскости развёртки. И так как сила действует в плоскости колебаний, то при перемещении маятника плоскость его колебаний будет оставаться параллельной начальному положению. Кружочек — кусочек пола, — будучи один раз направленным на Север, при вращении Земли таким и остаётся, а значит, при перемещении вдоль развёртки конуса будет всегда направлен в центр сектора. Итак, при движении по сектору вдоль дуги-образа параллели плоскость маятника не поворачивается, а кружочек-«пол» поворачивается и поворачивается на угол, равный углу сектора развёртки конуса.
Приведём классическую аналогию. Вы медленно крутитесь на круговой карусели, сидя в кресле, направленном в центр. Направление вашего взгляда (направление ваших коленей, табличка с вектором, лежащая у вас на коленях, …) неподвижно относительно карусели, но меняет направление относительно земельного участка под каруселью. Это — вращение кружочка относительно неподвижного сектора. Если с креслом связан подвес качающегося под действием силы тяжести маятника, и подвес позволяет маятнику двигаться как «хочется» маятнику — не оказывает влияния на плоскость колебаний, — то плоскость колебаний будет оставаться параллельной самой себе.
Итак, вектор скорости колебаний маятника параллельно переносится вдоль образа параллели по сектору. Свернём развёртку, теперь уже с отмеченными векторами скорости в некоторых точках, обратно в конус. Все векторы окажутся в касательных пространствах к сфере в соответствующих точках параллели, а переход от одной точки параллели к другой, задающий изменение вектора скорости маятника Фуко, на языке дифференциальной геометрии называется параллельным переносом вектора по сфере вдоль пути (параллели).
Тот факт, что при параллельном переносе вдоль параллели, не совпадающей с экватором, — замкнутом пути, не являющимся кратчайшим путём на сфере, — вектор не приходит в своё исходное положение, является фундаментальным: гауссова кривизна сферы не является нулевой. На сколько повернётся вектор при параллельном переносе за один оборот вдоль параллели зависит от широты. Угол между начальным и конечным положением вектора на языке дифференциальной геометрии называется угловым дефектом. Этот угол и определяет, на сколько сектор развёртки конуса меньше полного круга, на сколько за сутки недовернётся маятник Фуко до полного оборота.
Основной вывод: на данной параллели маятник Фуко за сутки заметает сектор, являющийся развёрткой конуса, касающегося сферы по этой параллели. А это уже простая геометрия: на широте $\varphi$ маятник Фуко за сутки повернётся на угол $2\pi\sin\varphi$ радиан. Следствие: чем больше широта (чем ближе к полюсу), тем больший сектор заметёт маятник Фуко за один оборот Земли.
На полюсе ($\varphi=90^\circ$, $\sin\varphi=1$) конус вырождается в круг; маятник Фуко делает за сутки полный оборот.
В Санкт-Петербурге ($\varphi\approx60^\circ$), где в Исаакиевском соборе висел самый длинный в мире маятник Фуко, его оборот за сутки составлял почти $312^\circ$. В Москве ($\varphi\approx55{,}75^\circ$) маятник Фуко поворачивается за сутки примерно на $297{,}5^\circ$. Примерно так же, как и в Москве, маятник Фуко будет поворачиваться в городах Казань ($55{,}78^\circ$), Кемерово ($55{,}35^\circ$), Новосибирск ($55{,}02^\circ$), Омск ($54{,}98^\circ$), Томск ($56{,}48^\circ$); Клайпеда ($55{,}70^\circ$, Литва), Копенгаген ($55{,}70^\circ$, Дания), Глазго ($55{,}70^\circ$, Великобритания), Эдинбург ($55{,}95^\circ$, Великобритания).
В Париже ($\varphi\approx 48{,}86^\circ$) маятник Фуко за сутки с хорошей точностью проходит 3/4 круга — примерно $271^\circ$. На близкой широте расположены Вена ($48{,}21^\circ$, Австрия), Братислава ($48{,}15^\circ$, Словакия), Мюнхен ($48{,}14^\circ$, Германия); Волгоград ($48{,} 71^\circ$), Хабаровск ($48{,}48^\circ$).
Половину круга за сутки маятник Фуко проходит будучи расположенным на широте $\varphi=30^\circ$ $ \Bigl( \sin30^\circ=\dfrac12\,\Bigr)$: Каир ($30{,}0^\circ$, Египет), Нью-Орлеан ($30{,}0^\circ$, США), Кувейт ($29{,}4^\circ$), Шанхай ($31{,}2^\circ$, Китай), Дели ($28{,}6^\circ$, Индия).
Четверть круга за сутки маятник Фуко проходит, будучи расположенным примерно на $14{,}5^\circ$ широты: Мопти ($14{,}5^\circ$, Мали), Манила ($14{,}6^\circ$, Филиппины), Дакар ($14{,}68^\circ$, Сенегал), Бангкок ($13{,}8^\circ$, Таиланд).
Ну а на экваторе, где конус вырождается в цилиндр, плоскость колебаний маятника Фуко относительно пола не поворачивается вообще.
Историческая справка
Николай Коперник (1473—1543) в своём труде «О вращении небесных сфер» приписывал Земле три вращения: одно — вращение Земли вокруг своей оси, два других задавали положение Земли и её оси вращения относительно Солнца.
Жан Бернар Леон Фуко (1819—1868) — французский физик, механик, оптик, астроном. Изобрёл гироскоп и придумал само это название; очень точно померил скорость света в воздухе и доказал, что в воде она меньше; открыл индукционные токи, возникающие при движении проводника в магнитном поле; изобрёл метод проверки формы зеркал телескопов, позволивший астрономам создавать оптику невиданного ранее качества, и придумал делать зеркала стеклянными с серебряным покрытием; сконструировал автоматический регулятор, который впервые сделал возможным стабильное горение вольтовой дуги, …
С целью продемонстрировать суточное вращение Земли маятник был впервые запущен Фуко в январе 1851 года в погребе своего дома. В феврале — в Парижской обсерватории, а в марте состоялась первая публичная демонстрация в парижском Пантеоне, где и экспонируется до сих пор. В отличие от современного дизайна, по кругу был насыпан песочный вал, на котором маятник оставлял след. Длина подвеса — 67 метров, масса шара — 28 кг, диаметр круга — 6 метров, период колебаний — 16,4 секунды, поворот за час — более чем на 11$^\circ$.
Самый большой в мире маятник Фуко демонстрировался в Исаакиевском соборе в Ленинграде с 1931 по 1986 год. Длина подвеса составляла 98 метров, масса бронзового шара — 54 кг, диаметр круга — около 8,5 метров, период колебаний — примерно 20 секунд, поворот за час — почти 13$^\circ$.
В качестве послесловия
Приведённое выше представление о маятнике Фуко является идеализированным, но строгим. Более того: всё, кроме одного места, физически объяснено. Недоказанным, но верным при медленном перемещении маятника, является переход от цилиндра и конуса к их развёрткам — здесь без дифференциальных уравнений не обойтись.
Плоскость колебаний даже идеального маятника Фуко не является плоскостью. Движение шара можно представить себе следующим образом: маятник движется по «узкому» эллипсу, который одновременно с этим поворачивается. При этом скорость поворота эллипса и скорость прохождения маятника по нему согласованы некоторым условием. В итоге между двумя крайними положениями маятник вычерчивает на плоскости вогнутые к центру кривые, а небольшой кружочек вокруг положения равновесия остаётся «незакрашенным». Диаметр этого кружочка — малая полуось эллипса. На экваторе диаметр равен нулю, а чем ближе к полюсу, тем радиус этого кружочка больше.
Классическое объяснение поворота плоскости колебаний маятника Фуко относительно наблюдателя использует силу Кориолиса, а в представленных рассуждениях она нигде не упоминалась. Дело в том, что мы смотрели на Землю и вращающийся с ней маятник Фуко из неподвижного объемлющего пространства, как говорят, из инерциальной системы отсчёта. А силу Кориолиса приходится вводить, когда явление описывается с точки зрения наблюдателя, связанного с подвижной, неинерциальной системой отсчёта.
Но… «Нет в мире совершенства!». Маятник Фуко демонстрирует довольно слабый эффект, и неидеальность реального маятника сказывается весьма заметно. Во-первых, скорость поворота настоящего маятника Фуко немного зависит от длины подвеса. Во-вторых, как ни старайся, сделать идеальный подвес и идеально запустить маятник в жизни невозможно — всегда будет добавляться «боковая» скорость. В-третьих, сила сопротивления приводит к затуханию колебаний маятника, а хочется, чтобы он заметал достаточно большой сектор. Маятник будет маятником Фуко — демонстрировать именно вращение Земли — только при длинном подвесе, небольшой амплитуде колебаний, достаточно тяжёлом шаре, в безветренном помещении, будучи отведённым и отпущенным максимально аккуратно. Идеально, чтобы длина маятника была не менее 20 метров, а лучше — больше; диаметр круга (амплитуда колебаний) составлял около $1/10$ части длины подвеса.
Другие этюды раздела «Инструменты»
