Сферы Данделена

Два самых извест­ных опре­де­ле­ния эллипса — через натя­ну­тую ниточку с кон­цами в фоку­сах и как сече­ние конуса. Как они свя­заны? Откуда у сече­ния конуса берутся эти выде­лен­ные точки — фокусы? Почему у эллипса и гипер­болы по два фокуса, а у пара­болы — один? В геомет­ри­че­ском опре­де­ле­нии пара­болы участ­вует дирек­триса. А есть ли дирек­триса у эллипса и, если да, то что это такое? Све­сти факты о кони­ках в еди­ную кар­тину поз­во­ляют сферы (шары) Дан­де­лена.

Каж­дое кони­че­ское сече­ние — эллипс, пара­бола, гипер­бола — имеет несколько (экви­ва­лент­ных) опре­де­ле­ний: как невырож­ден­ное сече­ние конуса; алгеб­ра­и­че­ское — зада­ние урав­не­нием; геомет­ри­че­ское — через фокусы; через экс­цен­три­си­тет.

Эллипс можно полу­чить не только как сече­ние конуса, но и как сече­ние (прямого круго­вого) цилин­дра плос­ко­стью, непа­рал­лель­ной его оси. Впишем в цилиндр два шара и при­дви­нем их к секущей плос­ко­сти так, чтобы они её кос­ну­лись с раз­ных сто­рон. Это и есть сферы Дан­де­лена, а точки каса­ния с секущей плос­ко­стью — фокусы эллипса.

Через окруж­но­сти каса­ния сфер Дан­де­лена с цилин­дром про­ве­дём две парал­лель­ные «гори­зон­таль­ные» плос­ко­сти до пере­се­че­ния с секущей плос­ко­стью. Линии пере­се­че­ния — дирек­трисы эллипса.

Докажем, что из опре­де­ле­ния эллипса как сече­ния цилин­дра сле­дует геомет­ри­че­ское опре­де­ле­ние эллипса. Восполь­зу­емся тем, что каса­тель­ные к сфере, про­ве­дён­ные из одной точки, равны.

Отре­зок от точки эллипса до фокуса равен отрезку обра­зующей цилин­дра от точки эллипса до окруж­но­сти каса­ния цилин­дра и сферы Дан­де­лена, давшей дан­ный фокус. Со вто­рым фоку­сом так же. В итоге сумма рас­сто­я­ний от точки до фоку­сов равна длине отрезка обра­зующей цилин­дра между парал­лель­ными плос­ко­стями. Но эта длина не зави­сит от рас­смат­ри­ва­емой точки эллипса, она все­гда посто­янна.

Покажем, что прямые, являющи­еся пере­се­че­нием гори­зон­таль­ных плос­ко­стей с секущей, являются дирек­три­сами: отноше­ние рас­сто­я­ния от точки до фокуса к рас­сто­я­нию от точки до прямой все­гда посто­янно. Это отноше­ние назы­вают экс­цен­три­си­те­том и обо­зна­чают гре­че­ской бук­вой $\varepsilon$.

Из точки на эллипсе опу­стим перпен­ди­ку­ляр на гори­зон­таль­ную плос­кость. В воз­никшем прямо­уголь­ном тре­уголь­нике рас­сто­я­ние от точки до дирек­трисы есть гипо­те­нуза, а катет равен рас­сто­я­нию от точки до фокуса (так как оба отрезка касаются сферы). Таким обра­зом, рас­смат­ри­ва­емое отноше­ние равно синусу дву­гран­ного угла между секущей и гори­зон­таль­ной плос­ко­стями: и гипо­те­нуза, и катет перпен­ди­ку­лярны линии пере­се­че­ния плос­ко­стей. И так как эллипс лежит в секущей плос­ко­сти, то для любой его точки этот угол, а стало быть, и отноше­ние рас­сто­я­ний, не меня­ется. Это и есть экс­цен­три­си­тет эллипса, он все­гда меньше 1.

Ана­логич­ные рас­суж­де­ния про­хо­дят, если опре­де­лять эллипс как сече­ние конуса плос­ко­стью, пере­се­кающей все его обра­зующие и не про­хо­дящей через его вершину.

В конус выше и ниже плос­ко­сти сече­ния впи­сы­ваются шары, кото­рые «раз­ду­ваются» до каса­ния с плос­ко­стью. В момент каса­ния это сферы Дан­де­лена, а точки каса­ния — фокусы эллипса. Дирек­трисы эллипса — прямые пере­се­че­ния секущей плос­ко­сти с плос­ко­стями, про­хо­дящими через окруж­но­сти каса­ния сфер Дан­де­лена и конуса.

Сумма рас­сто­я­ний от про­из­воль­ной точки эллипса до фоку­сов равна длине отрезка обра­зующей конуса, заклю­чён­ной между «гори­зон­таль­ными» плос­ко­стями.

Экс­цен­три­си­тет эллипса — отноше­ние рас­сто­я­ния от точки эллипса до фокуса к рас­сто­я­нию от точки до дирек­трисы — не зави­сит от рас­смат­ри­ва­емой точки эллипса и есть вели­чина посто­ян­ная, меньше еди­ницы.

Именно в этом месте рас­смот­ре­ние эллипса как кони­че­ского сече­ния чуть слож­нее, чем рас­смот­ре­ние как сече­ния цилин­дра, где воз­ни­кал «вер­ти­каль­ный» прямо­уголь­ный тре­уголь­ник, отноше­ние катета к гипо­те­нузе в кото­ром рав­ня­лось экс­цен­три­си­тету. Обра­зующая конуса накло­нена к гори­зон­таль­ной плос­ко­сти и ана­лог того тре­уголь­ника уже не будет прямо­уголь­ным. При­хо­дится рас­смат­ри­вать отноше­ния сто­рон в двух прямо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках с общим кате­том — перпен­ди­ку­ля­ром, опущен­ным из точки эллипса на гори­зон­таль­ную плос­кость.

Итак, рас­смот­ре­ние сфер Дан­де­лена даёт опре­де­ле­ния фоку­сов и дирек­трис эллипса и поз­во­ляет пока­зать, что из опре­де­ле­ния эллипса как кони­че­ского сече­ния сле­дуют геомет­ри­че­ское опре­де­ле­ние эллипса и опре­де­ле­ние через экс­цен­три­си­тет.

Закан­чи­вая рас­смот­ре­ние эллипса, заме­тим, что из плос­кой кар­тинки на пла­кате, иллю­стри­рующей опре­де­ле­ние эллипса через экс­цен­три­си­тет, сразу сле­дует экви­ва­лент­ность геомет­ри­че­скому опре­де­ле­нию: сумма рас­сто­я­ний до фоку­сов про­порци­о­нальна длине отрезка, перпен­ди­ку­ляр­ного двум парал­лель­ным дирек­три­сам и сколь­зящего вдоль них.

Пара­бола как кони­че­ское сече­ние воз­ни­кает, если секущая плос­кость парал­лельна ровно одной обра­зующей конуса (как след­ствие — пере­се­ка­ется только с одной его полой).

Впишем в конус рядом с верши­ной сферу и нач­нём её раз­ду­вать до каса­ния с секущей плос­ко­стью. Точка каса­ния сферы Дан­де­лена с секущей плос­ко­стью и есть фокус пара­болы. В отли­чие от эллипса и гипер­болы у пара­болы один фокус. Впи­сать в конус шар «снизу» от так рас­по­ложен­ной секущей плос­ко­сти невозможно: впи­сан­ный шар каса­ется всех обра­зующих конуса, а будучи рас­по­ложен­ным ниже плос­ко­сти, он не сможет кос­нуться обра­зующей, парал­лель­ной плос­ко­сти.

Про­ве­дём плос­кость через окруж­ность каса­ния сферы Дан­де­лена и конуса до пере­се­че­ния с секущей плос­ко­стью. Прямая пере­се­че­ния — дирек­триса пара­болы. Покажем, что так опре­де­лён­ные пара­бола, её фокус и дирек­триса удо­вле­тво­ряют геомет­ри­че­скому опре­де­ле­нию пара­болы.

Через про­из­воль­ную точку пара­болы про­ве­дём обра­зующую конуса и из той же точки опу­стим перпен­ди­ку­ляры на дирек­трису и гори­зон­таль­ную плос­кость. Поскольку гори­зон­таль­ная плос­кость перпен­ди­ку­лярна оси конуса, все его обра­зующие состав­ляют с этой плос­ко­стью один и тот же угол, рав­ный дву­гран­ному углу между секущей и гори­зон­таль­ной плос­ко­стями. Зна­чит, воз­никшие прямо­уголь­ные тре­уголь­ники равны по катету и острому углу, а поэтому равны и их гипо­те­нузы.

Тем самым, рас­сто­я­ние от точки на пара­боле до дирек­трисы равно рас­сто­я­нию от точки до окруж­но­сти каса­ния сферы Дан­де­лена и конуса. Но послед­нее равно и рас­сто­я­нию от точки на пара­боле до фокуса — как каса­тель­ные к сфере, про­ве­дён­ные из одной точки.

Таким обра­зом, из опре­де­ле­ния пара­болы как сече­ния конуса сле­дует геомет­ри­че­ское опре­де­ле­ние пара­болы. У пара­болы геомет­ри­че­ское опре­де­ле­ние совпа­дает с опре­де­ле­нием через экс­цен­три­си­тет, а зна­чит, и оно дока­зано.

Гипер­бола как кони­че­ское сече­ние воз­ни­кает, когда секущая плос­кость пере­се­кает обе полы конуса (иначе говоря, парал­лельна двум его обра­зующим). Пред­лагаем чита­телю само­сто­я­тельно разо­брать этот слу­чай: впи­сать сферы Дан­де­лена в обе поло­винки конуса по одну сто­рону от плос­ко­сти и вос­ста­но­вить геомет­ри­че­ские рас­суж­де­ния. А мы лишь заме­тим, что запом­нить, у эллипса или гипер­болы экс­цен­три­си­тет больше 1, помогает само назва­ние «гипер­бола»: ὑπέρ по-древ­негре­че­ски озна­чает «сверх».

Уже древ­ние греки занима­лись изу­че­нием эллипса, гипер­болы и пара­болы, рас­смат­ри­вая их как кони­че­ские сече­ния. Апол­ло­ний (262 до н. э. — 190 до н. э., родом из Перги, но рабо­тавший в Алек­сан­дрии, современ­ник Архимеда) напи­сал труд «Кони­че­ские сече­ния» в восьми книгах. Термин «фокус» (лат. «очаг, огонь») был вве­дён Иоган­ном Кепле­ром в сочи­не­нии «Опти­че­ская часть аст­ро­номии» («Astronomiæ pars optica», 1604). А элегант­ную идею сфер при­думал в 1822 году бельгийский матема­тик и меха­ник Жерми­наль Дан­де­лен.

Лите­ра­тура

Розенфельд Б. А. Апол­ло­ний Перг­ский. — М.: МЦНМО  2004.

Гиль­берт Д., Кон‐Фос­сен С. Нагляд­ная геомет­рия. — М.—Л.: ОНТИ, 1936.  — [Пере­из­да­ния: 1951, 2004]. — [Глава 1 «Про­стейшие кри­вые и поверх­но­сти»].

Пла­кат «Кони­че­ские сече­ния» // ИПС «Задачи по геомет­рии».

Другие этюды раздела «Кривые и поверхности второго порядка»